Analyse numérique

Acquis du module

Ce module introduit les notions d’analyse numériques permettant de résoudre des problèmes d’ingénierie concrètes par des approches numériques robustes.
A l’issu du module, les étudiants seront capables de modéliser des problèmes standards réels (recherche d’optimaux, processus de diffusions, propagation temporelles, systèmes mécaniques simples) en modélisant ceux-ci sous la forme de système d’équations potentiellement non linéaires, et pouvant faire intervenir des dérivées de fonctions par rapport au temps et/ou l’espace.
Ils sauront reconnaître et implémenter les méthodes de résolutions standards adaptées au problème mise en équation. Ils sauront nommer et quantifier les conséquences du passage de la modélisation continue au cas discret.

  • Identifier
    • Certaines méthodes d’analyse numérique permettant de résoudre un problème.
    • Les caractéristiques d’une approche numérique (convergence, précision).
  • Concevoir
    • Une modélisation d’un problème de manière formelle.
    • Un algorithme d’analyse numérique permettant de résoudre une équation numériquement.
  • Mettre en oeuvre
    • Une chaîne de traitement complète permettant de résoudre un problème de manière numérique.
    • Des fonctions externes d’analyse numérique.

Contenu

Résolution numérique d’équations non linéaires

Les systèmes d’équations non linéaires non solvable analytiquement sont rencontrés dans une large gamme de problème réelle (optimisation, calculs d’intersections, etc). La formulation générale de ce type de problème sera introduite à l’aide d’exemples concrets de problème d’ingénierie. Les différents schémas numériques de résolutions tels que la Dichotomie, le point fixe, la méthode de la sécante, ou les itérations de Newton seront décrits. Pour chaque cas, l’étude quantitative de l’efficacité de ces méthodes seront évalués suivant la précision et la convergence du schéma numérique.

Méthode d’intégrations numériques

L’intégration de fonctions non linéaire sur des domaines arbitraires est généralement non solvable analytiquement. Les schéma numériques peuvent cependant se révéler très efficace à la fois en terme de précision numérique et de rapidité de calcul indépendamment de la complexité de la fonction à intégrer.
Après avoir présenté les défauts de l’approche naïve par sommation directe, les cas plus pertinents des approches d’intégrations numériques seront mise en place. En particulier, on s’intéressera à l’approche du trapèze ainsi que des quadratures de Gauss. Encore une fois, l’ordre de convergence permettra de quantifier la qualité du schéma numérique.

Résolution numérique d’équation aux dérivées

Les équations aux dérivées ordinaires ou partielles sont rencontrés naturellement dans quasiment tout problème modélisant un phénomène physique (mécanique, propagation, diffusion, etc).
Après avoir présenté la modélisation générale d’un problème exprimable sous forme d’équation aux dérivées, une première étude s’intéressera au cas de résolution numérique des équations aux dérivées ordinaires (EDO) par différences finies. Les différentes approches seront comparées : Méthodes de Newton explicite, méthodes de Runge-Kutta, approches implicites.
Les équations aux dérivées partielles seront ensuite étudiées. Les 3 types (elliptiques, paraboliques, hyperboliques) seront introduites, et l’approche par différence finies sera présenté sur ce type d’équation. Pour pallier aux inconvénients de ce type de schéma, une introductions aux approches plus évoluées telles que les éléments et volumes finis sera réalisé.

Programmation générique de schéma numériques et librairies de calculs

Afin d’assurer la mise en place efficace d’implémentation de calculs numérique, la programmation d’approche générique sera mis en exemple à l’aide de différents langage adaptés : le C++ dans les cas nécessitant efficacité, ou les langages de scripts permettant un développement rapide tels que Python.
Enfin les différentes librairies de calculs numériques disponibles dans ces langages seront présentés.

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