Géométrie, modélisation graphique et programmation 3D

Acquis du module

Ce module aborde la modélisation de 3D, en faisant le lien entre le modèle mathématique et la représentation informatique discrète.
A l’issue de la formation, l’étudiant connaîtra les différentes modélisations classiques des courbes, surfaces et volume de l’espace. Il saura programmer à l’aide de la bibliothèque graphique OpenGL la gestion d’une scène 3D complète. Il sera en mesure de générer de manière autonome une forme 3D quelconque en choisissant sa représentation et visualiser celle-ci en temps-réel.
L’étudiant sera également familier de différentes notions géométriques. Il saura manipuler les coordonnées en géométrie projective pour représenter des formes dans l’espace. Enfin, il sera capable d’estimer ou d’approximer des mesures différentielles sur quelques modélisations continues et discrètes de formes permettant de quantifier le degré de continuité ou la courbure d’une surface.

  • Identifier
    • Les modèles de courbes et surfaces adaptés permettant de représenter un objet, et leur domaines d’applications (CAO, gestion de collisions, visualisation graphique, etc.).
    • Les approches informatiques permettant de représenter ces objets.
    • Les principes de la projection d’un espace 3D sur une image 2D.
  • Concevoir
    • La modélisation d’une scène 3D pouvant être mise en place en informatique.
  • Mettre en oeuvre
    • Une représentation informatique complète d’une scène 3D présentant des objets de nature diverses.
    • La quantification des caractéristiques d’une surface (continuité, courbure, …).
    • La bibliothèque OpenGL dans le cadre de modélisation d’objets complexes par des maillages.

Contenu

Modélisation de courbes et surfaces

La manipulation de courbes et surfaces par l’outil informatique passe par une modélisation adéquates de celles-ci. Si les fonctions paramétriques globales sont généralement étudiées d’un point de vue mathématiques, celle-ci sont généralement inadaptée dans les cas de modélisation d’objets réels. Pour cela, nous introduirons dans un premier temps les courbes et surfaces définies paramétriques polynomiales de types Bézier, Spline et NURBS dans le cadre de la CAO. Le cas plus générale des maillages polygonaux sera ensuite étudié et mis en pratique pour la modélisation d’objets quelconques. Enfin les surfaces implicites seront mentionnées dans le cas de changements de topologies.

Programmation OpenGL

La librairie OpenGL permet de visualiser et d’implémenter des manipulation efficace de courbes et surfaces 3D. Après avoir introduit le principe du pipe-line standard d’OpenGL, le cas de la structuration de données adéquate pour la carte graphique sera mise en place afin d’utiliser à bon escient la puissance du GPU pour la visualisation de surfaces complexes et détaillée.

Géométrie projective, discrète et différentielle

L’utilisation de coordonnées projectives se révèle un outil puissant pour manipuler de manière linéaire des coordonnées 3D se projetant. Pour cela le formalisme de la géométrie différentielle sera présenté et mis en application sur le cas particulier des coniques.
La caractérisation d’objets purement discret sera également étudié à l’aide de l’outil formel de la géométrie discrète.
Enfin l’analyse de courbes et surfaces lisses passe par la quantification de propriétés différentielles. Les notions de continuités Cn, Gn seront présentées. La courbure des surfaces sera également présentée. Enfin, les discrétisations usuelles de ces quantités seront introduites.

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